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By Martin Goldstern

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The Concept of Rights

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Pre-Calculus

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E) · (e, . . , e, y y , e, . . , e)) = , e, . . , e) = j−te Stelle = ϕ(e, . . , e, y j−te Stelle , e, . . , e, i−te Stelle = ϕ((e, . . , e, , e, . . , e) = j−te Stelle x i−te Stelle = ϕ(e, . . , e, y x , e, . . , e) · ϕ(e, . . , e, j−te Stelle , e, . . , e)) = i−te Stelle x , e, . . , e) = i−te Stelle = yx. b) ⇒ a): Da ϕ bijektiv ist, muss nur mehr gezeigt werden, dass ϕ Homomorphismus ist. F¨ ur a := (a1 , . . , an ), b := (b1 , . . , bn ) ∈ U1 × · · · × Un gilt: ∗ ϕ(ab) = ϕ(a1 b1 , .

Entspricht dem Normalteiler N die Kongruenz π, so schreiben wir G/N := G/π = {xN | x ∈ G}. Eine solche Faktoralgebra heißt Faktorgruppe von G. In der Faktorgruppe G/N wird wie folgt gerechnet: (xN )(yN ) = (xy)N , eN = N ist Einselement, (xN )−1 = x−1 N . Den trivialen Kongruenzen ι = {(x, x) | x ∈ G} und α = G×G entsprechen die so genannten trivialen Normalteiler {e} und G. Daher gilt: G ist einfach ⇔ G hat nur die beiden trivialen Normalteiler. 33 Beispiele. 1. Jede zyklische Gruppe G = x mit o(x) = p (Primzahl) ist einfach (Satz von Lagrange).

Den Einsetzungshomomorphismus ϕ ( mit variablem Parameter“) ” k¨onnen wir auch als Spezialfall des Einsetzungshomomorphismus mit festem Parameter n sehen; AA ist ja eine Algebra, die unter anderem die Projektionen π1n , . . , πnn enth¨alt. Wenn wir das n-Tupel (π1n , . . , πnn ) mit π bezeichnen, dann ist ϕ genau die Abbildung ϕπ . 9 Schreibweise. Statt ϕ(t) schreibt man meistens tA ; wir nennen tA ∈ AA die durch ” t(x1 , . . , xn ) induzierte n-stellige Termfunktion“. Statt ϕa (t) schreiben wir tA (a) oder tA (a1 , .

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